Pour fêter l'accès de la France en finale de la coupe du mode de football FIFA 2022, voici une version du module "Coupe du monde de football FIFA 2022 - Sélection des pays admis en huitième", qui est un exercice de tableau et de tri [1].
[1] Coupe du monde de football FIFA 2022 - Sélection des pays admis en huitième
Représente les mathématiques
Lors de la phase de groupe, chaque pays d'un groupe rencontre en un match unique les autres pays de même groupe.
A la fin de chaque partie, les adversaires recueillent des points fonction de l'issue de la partie.
En fin de phase de groupe, on effectue les totaux des points gagnés par chaque pays.
Les pays sont classés par nombre décroissant des totaux. En cas d'égalité de points, le pays à la différence de buts la plus grande passe devant.
Les deux premiers pays du classement passent en huitième. Les deux autres sont éliminés de la compétition [1].
Quels sont les pays du groupe D admis en huitième ?
[1] Scores et matchs, site officiel de la FIFA
Engage les mathématiques
Formule les mathématiques
Soit un ensemble de quatre nombres entiers naturels.
Classe ces nombres par ordre décroissant.
Implémente les mathématiques
Pour réaliser ce classement, on a développé un module Scratch.
L'animation ci-dessous est une prise vidéo d'une expérience de ce module. En tant que vidéo, cette animation n'est pas interactive et le rythme t'est imposé.
Un module Scratch, mais épuré, est en partage [1].
Tu es encouragé.e à le remixer pour installer des commentaires à ta main. Un sprite "Coach" est préinstallé à cet effet.
Quand tu auras fini ton ouvrage, montre-le à tes camarades et à ton professeur.e.
La vidéo ci-dessous est une prise vidéo d'une expérience de ce module sur le site Scratch.
[1] https://scratch.mit.edu/projects/774652680/
Explore d'autres mathématiques
Représente les mathématiques
Pour accéder aux huitièmes de finale de la coupe du monde de football de la FIFA 2022, les 4 pays du Groupe D, l'Australie, le Danemark, la France et la Tunisie, se sont rencontrés deux à deux pour un match unique.
Six matchs se sont ainsi déroulés les 22 novembre, 26 novembre et 30 novembre.
Lors d'un match, le gagnant prend 3 points, le perdant, 0 point ; en cas de match nul, les adversaires prennent 1 point chacun.
Lorsque les 6 matchs sont joués, on additionne les points gagnés par chaque pays en vue de classer les pays par ordre décroissant des points.
Quels sont les totaux des points recueillis par les pays du groupe D ?
Engage les mathématiques
Formule les mathématiques
Soit les trois matrices : (0, 1, 3, 1), (3, 0, 3, 0), (3, 0, 0, 3)
Calcule la somme des trois matrices.
Implémente les mathématiques
L'objet mathématique "matrice" est porté par les objets programmatiques "tableau", "colonne" ou "ligne".
Ainsi, la matrice (0, 1, 3, 1) des points gagnés par les quatre pays du Groupe D lors de la première journée est une colonne à quatre lignes. Il est en de même pour les points gagnés lors de la seconde et troisième journée.
Les mathématiques te disent que tu peux "additionner les lignes des trois colonnes".
Voici un module Scratch qui permet de suivre les résultats des différents pays et réaliser les totaux de points.
L'animation ci-dessous est une prise vidéo d'une expérience de ce module. En tant que vidéo, cette animation n'est pas interactive.
Pour naviguer dans le module à ton rythme, tu es invité.e à visiter le studio Scratch Le sens et le goût des maths au collège.Un module Scratch, mais épuré, est en partage [1].
Tu es encouragé.e à le remixer pour installer des commentaires à ta main. Un sprite "Coach" est préinstallé à cet effet.
Quand tu auras fini ton ouvrage, montre-le à tes camarades et à ton professeur.e.
La vidéo ci-dessous est une prise vidéo d'une expérience de ce module sur le site Scratch.
[1] https://scratch.mit.edu/projects/773275423/
Explore d'autres mathématiques
La question 1 de l'exercice N°5 de l'épreuve de mathématiques du Brevet 2016 a été traitée en utilisant la notion de colonne [1].
Représente les mathématiques
En vue des matchs de huitième de finale de la coupe du monde de football de la FIFA, les 32 pays admis en phase finale sont répartis en 8 groupes de 4 pays. Les groupes sont respectivement désignés par une des huit lettres : A, B, C, D, E, F, G, H.
Ainsi, le groupe D compte l'Australie, le Danemark, la France et la Tunisie [1]
Chaque pays d'un groupe rencontre en un match unique les trois autres pays du même groupe.
Quels pays la France rencontre-t-elle ?
[1] Groupes, FIFA world cup 2022, FIFA.com
Formule les mathématiques
Groupe_D = {Australie, Danemark, France, Tunisie}
Engage les mathématiques
Implémente les mathématiques
Un groupe est programmé sous la forme
Ce design a été implémenté dans un module Scratch.
L'animation est une prise vidéo d'une expérience de ce module. En tant que vidéo, cette animation n'est pas interactive et le rythme pédagogique t'est imposé.
Un module Scratch, mais épuré, y est en partage [1].
Tu es encouragé.e à remixer ce module pour installer des commentaires à ta main. Un sprite "Coach" est préinstallé à cet effet.
Quand tu auras fini ton ouvrage, montre-le à tes camarades et à ton professeur.e.
La vidéo ci-dessous est une prise vidéo d'une expérience de ce module épuré.
[1] https://scratch.mit.edu/projects/773243487/
Explore d'autres mathématiques
Une question du Brevet 2016 mathématique a été traité en utilisant les notions et implémentations mises en scène ici [1].
Le budget est le coût de la quantité minimale de sacs permettant de couvrir la surface de la zone de jeux pour enfants.
Formule les mathématiques
Calculer l'aire du triangle SAP tel que
Remplir le tableau de proportionnalité de la surface couverte en fonction du nombre de sacs.
| Nombre de sacs |
Surface couverte (m²) |
|---|---|
| 1 | 140 |
| 2 | |
| 3 | |
| 4 |
Calculer le budget B
B = QMin * PU avec
Engage les mathématiques
Pour déterminer la surface de la zone de jeux pour enfants, quelle(s) mathématique (s) aurais-tu envie d'engager ?
Utilise des mathématiques
Pour déterminer le budget, la résolution proposée recourt au "tableau de données".
Animation de la résolution
En voici une animation. C'est une prise vidéo d'une expérience d'un module réalisé avec le logiciel Scratch. En tant que vidéo, cette animation n'est pas interactive et le rythme pédagogique t'est imposé.
Pour naviguer dans cette résolution à ton rythme, tu es invité.e à passer à la phase "Implémente les mathématiques avec le numérique" ci-après.
On pourra consulter les corrigés proposées par différents sites, notamment celui de l'APMEP (association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public) [2].
[2] Brevet 2016 12 sujets 10 corrigés, Denis Vergès, APMEP, 26 avril 2016
Implémente les mathématiques
Pour naviguer dans la résolution à ton rythme, tu es invité.e à visiter le studio Scratch Le sens et le goût des maths au collège ; un module Scratch sur la résolution y est en partage [1].
Néanmoins, le module est épuré par rapport à l'animation sur "Utilise les mathématiques".
Tu es encouragé.e à remixer ce module pour installer des notes explicatives à ta main, voire tes propres étapes. Un sprite "Coach" est préinstallé à cet effet.
Le code est assez complexe : un tableau est implémenté et exploité (tableau du budget selon la surface couverte utilisé pour déterminer le budget ). C'est peut-être une première en mode "partage" sur Scratch.
Recherche de l'aide, ton professeur ou à un camarade en classe supérieure avec une option mathématique.
Quand tu auras fini ton ouvrage, montre-le à ton professeur.e ou à tes camarades. Ils devraient être impressionnés.
La vidéo ci-dessous est une prise vidéo d'une expérience de ce module sur le site Scratch.
[1] https://scratch.mit.edu/projects/771601407/
La commune a demandé à un professionnel de tracer la figure. Quel est le métier du professionnel dont la figure serait probablement la plus fiable ?
Représente et formule les mathématiques
L'énoncé ci-dessus est une reprographie de l'énoncé original. Cet énoncé a été estimé conforme aux critères d'écriture d'un énoncé d'exercice de mathématiques pour le Brevet.
Nous soumettons à ta curiosité une variante de cet énoncé, qui a été publiée en 2016 dans le cadre de réflexions sur la pédagogie des maths au collège [1].
Cette variante propose une représentation des mathématiques qui sépare distinctement trois contenus :
On peut repérer un réaménagement de la formulation des calculs dans la désignation des objets mathématiques (les points de la figure) et le graphisme de la figure.
[1] Enoncé d'un exercice (Brevet 2016, mathématiques), mais aménagé pour réfléchir sur la pédagogie des maths au collège, X-Diversité, août 2016
L'exercice N°1 de l'épreuve de mathématiques du Brevet 2022 met en scène des enfants souhaitant déterminer la largeur d'une rivière [1].
Voici une transposition de ce scénario, avec trois robots envoyés sur la planète Mars pour mesurer la largeur d'un canal.
Nous nous sommes amusés à implémenter ce scénario dans l'environnement numérique Scratch.
La version 1 du module Scratch a été mise en partage sur le site Scratch. Tu est invité à inspecter le code et à y imprimer ton propre style [2].
Version à remixer avec ton style
Voici un exemple version remixée.
[1] Brevet 2022, mathématiques, exercice N°1, question 2, Le point, la règle et la droite
[2] https://scratch.mit.edu/projects/718107957/
Représente les mathématiques
Quelle unité dois-tu mobiliser pour mesurer la vitesse du bâton ?
.
Formule les mathématiques
V = CE / DeltaT
Les définitions de V, CE et DeltaT sont obtenues par le quiz en trois temps de "Représente les mathématiques", ci-dessus.
Utilise des mathématiques
Animation de la résolution
Voici une animation de la résolution
C'est une prise vidéo d'une expérience d'un module réalisé avec l'environnement numérique Scratch. En tant que vidéo, cette animation n'est pas interactive et le rythme pédagogique t'est imposé.
Pour naviguer dans cette résolution à ton rythme, tu es invité.e à passer à la phase "Implémente les mathématiques avec le numérique" ci-après.
On pourra consulter les corrigés proposés par différents sites, notamment celui de l'APMEP (association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public) [1].
[1] Métropole - La Réunion - Antilles - Guyane, Brevet des collèges 2022, 10 sujets, 9 corrigés, Denis Vergès, APMEP, 30 juin 2022
Implémente les mathématiques avec le numérique
Pour naviguer dans la démonstration / résolution à ton rythme, tu es invité.e à visiter le studio Scratch Le sens et le goût des maths au collège.
Un module Scratch sur la démonstration / résolution y est en partage [1].
Néanmoins, le module est épuré par rapport à l'animation sur "Utilise les mathématiques".
Tu es encouragé.e à remixer ce module pour installer des notes explicatives à ta main, voire tes propres étapes. Un sprite "Coach" est préinstallé à cet effet.
Quand tu auras fini ton ouvrage, montre-le à tes camarades et à ton professeur.e.
La vidéo ci-dessous est une prise vidéo d'une expérience de ce module sur le site Scratch.
https://scratch.mit.edu/projects/767479827/
Interprète les mathématiques
Les calculs donnent
Une telle trajectoire te semble-t-elle plausible ?
Implémente l'expérience avec le numérique
Voici une animation réalisée avec le logiciel Scratch.
Explore d'autres mathématiques
La vidéo ci-dessus n'est qu'une animation d'artiste. Mais celle-ci sera une aide pour recueillir des avis de tes camarades où de ton professeur.
Voici quelques réponses de membres de la communauté polytechnicienne :
"Sans avoir à reprendre les cours sur Navier-Stokes, ce trajet ne semble pas plausible dans un écoulement laminaire, car il y aura rupture de la dérivée du flot en C. " Pascal B.
"Vu les vitesses d'écoulement, le régime est torrentiel (turbulent) (...). Il y aura donc des vagues (...). La ligne droite est donc improbable. Toutefois le courant risque de drosser contre chaque arbre E et C, rendant le trajet de E à C plausible. " Augustin T.
"Avec un tel tracé du lit de la rivière, présentant deux inflexions entre A et E, aucun flot ne peut être laminaire, par conservation de la quantité de mouvement. Des tourbillons vont perturber le flux, rendant très peu probable une trajectoire rectiligne uniforme entre C et E." Philippe G.
Dans ces réponses, il y a sans doute des expressions que tu lis pour la première fois : Navier-Stokes, laminaire, dérivée, inflexions, quantité de mouvement,...
Concernant Navier-Stokes, ce sont les noms de deux savants du 19e siècle, Henri Navier et George Gabriel Stokes [3a], qui ont étudié l'écoulement des fluides. En études supérieures, tu pourras être initié aux "équations Navier-Stokes", qui sont utilisées dans les départements techniques d'entreprises de nombreuses industries.
Dans les réponses, il apparaît que la "vitesse d'écoulement" et le "tracé du lit la rivière" sont déterminants. Sur le second point, l'énoncé original indique bien que "le schéma n'est pas à l'échelle".
Voici donc un schéma, à l'échelle pour les mesures données par l'énoncé, mais avec un rendu de tracé alternatif de la rivière.
[3a] [Les équations Clefs de la physique] Les équations de Navier-Stokes, diffusé par CEA Recherche, YouTube
[3b] Peut-on construire une équation qui aurait pour solution la température à Paris demain ? Une conférence Timeworld, Isabelle Gallagher, 22 septembre 2022, diffusée par Ideas in Sciences sur YouTube.
Représente et Formule les mathématiques
En faisant des recherches internet sur Navier-Stokes, tu pourras apprendre qu'il existe des logiciels de simulations d'écoulement de fluide (CFD, Computational Fluid Dynamics).
Néanmoins, comme pour le logiciel Scratch où la fonction mathématique "sinus" a été utilisée pour simuler l'écoulement, il faut imaginer un modèle mathématique de la rivière qui puisse être "compris" (déclaré dans) par le logiciel CFD.
Voici une rivière "modélisée" par trois tronçons rectilignes de même largeur et faisant entre eux des angles notés respectivement α et β .
La question posée dans la rubrique Interprète les mathématiques
"La trajectoire EC est-elle plausible ?"
devient, en vue de l'utilisation d'un logiciel CFD avec lequel on pourra réaliser plusieurs simulations avec des jeux différents de valeurs α et β
"Soit une vitesse d'écoulement entre 2 m/s et 3 m/s, peut-on trouver un angle α et un angle β pour que la trajectoire EC soit
effective ? "
Formule le théorème de Pythagore et reproduit la démonstration dite "indienne"
Voici une carte du jeu "Le sens et le goût des maths", qui évoque cette démonstration.
Dans la démonstration indienne, quelle(s) mathématique (s) ont été mobilisées ?
Voici une animation de la démonstration du théorème.
C'est une prise vidéo d'une expérience d'un module réalisé avec le logiciel Scratch. Cette animation n'est donc pas interactive et le rythme t'est imposé.
Pour naviguer dans cette démonstration à ton rythme, tu es invité.e à passer à la phase "Implémente les mathématiques avec le numérique" ci-après.
Tu es encouragé.e à remixer ces modules pour y installer ta propre démarche de résolution et tes propres notes explicatives.
Il a y deux modules et donc tu as donc deux bases de départ possibles pour réaliser ta propre version.
Quand tu auras réalisé ta version, montre-la à tes camarades et à ton professeur.e !
Explore d'autres mathématiques
Il existe d'autres démonstrations du théorème de Pythagore [1].
Sur le site Le point, la règle et la droite, la démonstration d'Euclide [2]
Représente les mathématiques
On rapporte que pour tracer des angles droits, les arpenteurs de l’ancienne Égypte utilisaient un corde fermée sur elle-même à 12 nœuds formant 13 segments de longueurs égales.
Soit l'octogone ABCDEFGH et le triangle SFG.
Quel est le rapport entre l'aire du triangle SFG et de l'aire de l'octogone ABCDEFGH ?
Engage les mathématiques
Quelle(s) mathématique (s) aurais-tu envie de mobiliser ?
Utilise des mathématiques
Lemme 1 : (Aire constante d'un triangle variable, à résoudre)
Soit deux droites parallèles D et D'. Soit deux points A et B sur la droite D et un point quelconque M sur la droite D'. Alors, l'aire du triangle ABM ne dépend pas de la position de M et est constant.
[1] Aire constante d'un triangle variable, Le point, la règle et la droite
Lemme 2 (à admettre ou démontrer lorsque tu seras en études supérieures de mathématiques)
Soit un polygone simple et une droite coupant le polygone en deux parties.
Alors, l'aire du polygone est la somme des aires des parties.
Explore d'autres mathématiques
Démontre le lemme 1 "Aire constante d'un triangle variable" [1]
[1] Proportionnalité aire / base d'un triangle variable
Invitation à retourner en 2014
Le présent exercice aurait pu être titré par
Les cas
ayant été traités sur le site Le point, la règle et la droite.
Cette série a déjà été proposée en 2014 sur ce même site. Elle est inspirée d'un exercice du concours Kangourou des collèges 1998, qui demande la rapport de l'aire du triangle inscrit dans un hexagone.
Pour le cas n égal à 2 (carré) et n égal à 3 (hexagone), deux résolutions ont été proposées en 2014 :
La résolution "copier - coller" est inspirée par la résolution proposée par Kangourou. En revanche, le cas général n quelconque, proposé à la suite de n égal à 2 et n égal à 3, n'a pas de résolution proposée.
Tu es invité.e à revisiter cette série d'exercices éditée en 2014 et à rechercher des résolutions pour n égal à 4 et n quelconque [2]
[2] Calcul de l'aire d'un triangle inscrit dans un polygone régulier, Le point, la règle et la droite [août 2014]
Implémente les mathématiques
Voici une animation réalisée avec le logiciel Scratch. Tu pourras jouer avec le code sur le site Scratch [1].
Soit l'hexagone ABCDEF et le triangle SCD.
Quel est le rapport entre l'aire du triangle SCD et de l'aire de l'hexagone ABCDEF ?
Engage les mathématiques
Quelle(s) mathématique (s) aurais-tu envie de mobiliser ?
Utilise des mathématiques
Lemme 1 : (Aire constante d'un triangle variable, à résoudre)
Soit deux droites parallèles D et D'. Soit deux points A et B sur la droite D et un point quelconque M sur la droite D'. Alors, l'aire du triangle ABM ne dépend pas de la position de M et est constant.
[1] Aire constante d'un triangle variable, Le point, la règle et la droite
Lemme 2 (à admettre ou démontrer lorsque tu seras en études supérieures de mathématiques)
Soit un polygone simple et une droite coupant le polygone en deux parties.
Alors, l'aire du polygone est la somme des aires des parties.
Animation de la démonstration
Voici une animation de la démonstration du théorème.
C'est une prise vidéo d'une expérience d'un module interactif réalisé avec le logiciel Scratch. En tant que vidéo, cette animation n'est pas interactive et le rythme pédagogique t'est imposé.
Pour naviguer dans cette démonstration à ton rythme, tu es invité.e à passer à la phase "Implémente les mathématiques avec le numérique" ci-après.
Explore d'autres mathématiques
Démontre le lemme 1 Aire constante d'un triangle variable [1]
Cet exercice est inspiré du Kangourou des collèges 1998.
Dans un billet publié en 2014, j'ai proposé deux résolutions, qui sont différentes de la résolution présente. Je t'invite à examiner ce billet 2014 [2]
[1] Proportionnalité aire / base d'un triangle variable
[2] Calcul de l'aire d'un triangle inscrit dans un hexagone, Le point, la règle et la droite, juil 2014
Implémente les mathématiques avec le numérique
Pour naviguer dans la démonstration à ton rythme, tu es invité.e à visiter le studio Scratch Le sens et le goût des maths au collège.
Un module Scratch sur la démonstration y est en partage [1].
Néanmoins, le module est simplifié par rapport à l'animation sur "Utilise les mathématiques".
Tu es encouragé.e à remixer ce module pour installer une pédagogie à ta main .
Quand tu auras réalisé ton propre module, montre-le à tes camarades et à ton professeur.e.
La vidéo ci-dessous est une prise vidéo d'une expérience de ce module sur le site Scratch.
Soit le carré ABCD et le triangle SCD.
Quel est le rapport entre l'aire du triangle SCD et de l'aire du carré ABCD ?
Engage les mathématiques
Quelle(s) mathématique (s) aurais-tu envie de mobiliser ?
Utilise des mathématiques
Lemme 1 : (Aire constante d'un triangle variable, à résoudre)
Soit deux droites parallèles D et D'. Soit deux points A et B sur la droite D et un point quelconque M sur la droite D'. Alors, l'aire du triangle ABM ne dépend pas de la position de M et est constant.
[1] Aire constante d'un triangle variable, Le point, la règle et la droite
Animation de la résolution de l'exercice.
Cette animation une
prise vidéo d'une expérience d'un module interactif réalisé avec l'environnement numérique Scratch. L'interation est limitée et le
rythme d'apprentissage t'est imposé.
Implémente les mathématiques avec le numérique
Tu es encouragé.e à regarder le code Scratch. Tu pourras même le remixer pour installer une démarche et des notes explicatives à ta main.
Quand tu auras réalisée ton propre module, montre ton ouvrage à tes camarades et à ton professeur.e !
[1] https://scratch.mit.edu/projects/760085157/
Explore d'autres mathématiques
Démontre le lemme 1 Aire constante d'un triangle variable [1]
Tu es invité à examiner un billet portant le même exercice publié en 2014 [2]
[1] Proportionnalité aire / base d'un triangle variable
[2] Calcul de l'aire d'un triangle inscrit dans un carré, Le point, la règle et la droite, juil 2014Énonce le théorème de Thales en configuration "pyramide".
Démontre le théorème de Thalès en configuration papillon.
Engage les mathématiques
Quelle(s) mathématique (s) aurais-tu envie de mobiliser ?
Utilise des mathématiques
Lemme 1 : ("Proportionnalité aire / base d'un triangle variable", à résoudre)
Soit une droite D, un point A de cette droite et un point O qui n'est pas sur la droite. Soit un point quelconque M de la droite D. Alors, l'aire du triangle OAM est proportionnel à la longueur AM.
Explore d'autres mathématiques
Démontre le lemme 1 Proportionnalité aire / base d'u triangle variable [1]
Démontre le théorème de Thalès en configuration pyramide [2].
[1] Proportionnalité aire / base d'un triangle variable
[2] Théorème de Thalès - configuration pyramide, Le point la règle et la droite
Implémente les mathématiques
Voici une animation réalisée avec le logiciel Scratch. Tu pourras jouer avec le code sur le site Scratch [1].
Formule et démontre le théorème de Thalès dans la configuration "papillon".
Voici une carte du jeu "Le sens et le goût des maths" qui évoque le théorème de Thalès dans la configuration "papillon",
Quelle(s) mathématique (s) aurais-tu envie de mobiliser ?
Utilise des mathématiques
Lemme 1 ("Aire constante d'un triangle variable", à résoudre)
Soit deux droites parallèles D et D'. Soit deux points A et B sur la
droite D et un point quelconque M sur la droite D'. Alors, l'aire du
triangle ABM ne dépend pas de la position de M et est constant.
Lemme 2 ("Proportionnalité aire / base d'un triangle variable", à résoudre)
Soit une droite D, un point A de cette droite et un point O qui n'est pas sur la droite. Soit un point quelconque M de la droite D. Alors, l'aire du triangle OAM est proportionnel à la longueur AM.
Animation de la démonstration
Voici une animation de la démonstration du théorème.
C'est une prise vidéo d'une expérience d'un module interactif réalisé avec le logiciel Scratch. En tant que vidéo, cette animation n'est pas interactive et le rythme pédagogique t'est imposé.
Pour naviguer dans cette démonstration à ton rythme, tu es invité.e à passer à la phase "Implémente les mathématiques avec le numérique" ci-après.
Implémente les mathématiques avec le numérique
Pour naviguer dans la démonstration à ton rythme, tu es invité.e à visiter le studio Scratch "Le sens et le goût des maths au collège".
Un module Scratch sur la démonstration y est en partage [1].
Néanmoins, le module est simplifié par rapport à l'animation sur "Utilise les mathématiques".
Tu es encouragé.e à remixer ce module pour installer une pédagogie à ta main .
Quand tu auras réalisé ton propre module, montre-le à tes camarades et à ton professeur.e.
La vidéo ci-dessous est une prise vidéo d'une expérience de ce module sur le site Scratch.
[1] https://scratch.mit.edu/projects/742838485/
Explore d'autres mathématiques
Les lemmes 1 et 2 sont proposés sur le site La point, la règle et la droite [1a][1b]
Une application du théorème de Thales est régulièrement proposée au Brevet national. Le site Le point, la règle et la droite propose une application lors des Brevets 2016 et 2022 [2].
[1a] Aire constante d'un triangle variable
[1b] Proportionnalité aire / base d'un triangle variable
[2a] Brevet 2022, mathématiques, exercice N°1, question 1 et 2
[2b] Brevet 2016, mathématiques, exercice N°5
Formule le théorème de Pythagore et reproduit la démonstration d'Euclide
Engage les mathématiques
Quelle(s) mathématique (s) aurais-tu envie de mobiliser ?
Utilise des mathématiques
Lemme 1 (à admettre ou démontrer lorsque tu seras en études supérieures de mathématiques)
Soit un polygone simple et une droite coupant le polygone en deux parties.
Alors, l'aire du polygone est la somme des aires des parties.
Lemme 2 "Aire constante d'un triangle variable"
Soit deux droites parallèles D et D'. Soit deux points A et B sur la droite D et un point quelconque M sur la droite D'. Alors, l'aire du triangle ABM ne dépend pas de la position de M et est constant. [1]
[1] Aire constante d'un triangle variable, Le point, la règle et la droite
Animation sur Scratch de la démonstration
Voici une animation d'une démonstration du théorème de Pythagore attribuée à Euclide.
Cette animation est une prise vidéo d'une expérience d'un module Scratch.
Tu trouveras ci-dessous, à "Implémente les mathématiques avec le numérique", l'accès à une version simplifiée de la démonstration mais interactive, ce qui te permettra de naviguer dans la démonstration à ton propre rythme.
Implémente les mathématiques avec le numérique
Voici une animation interactive de la démonstration du théorème de Pythagore.
Cette animation est réalisée avec Scratch [1]. Tu pourras y naviguer à ton propre rythme.
Le module Scratch est placé en "partage". Il est remixable et tu est encouragé.e à réaliser ton propre module Scratch de démonstration du théorème de Pythagore, à le partager avec tes camarades de classe et ton professeur.e.
[1] https://scratch.mit.edu/projects/760738402/
Explore d'autres mathématiques
Il existe d'autres démonstrations du théorème de Pythagore [1].
Sur le site Le point, la règle et la droire, la démonstration dite indienne [2].
[1a] Autour du théorème de Pythagore, Pierre Legrand, Bulletin APMEP n°515
[1b] http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ (site cité par [1a] en bas de page 1)
[1c] Sur les démonstrations du théorème de Pythagore, Rudolf Bkouche, Bulletin APMEP n°523, § "Sur la première démonstration donnée par Djament", page 6
[2] Théorème de Pythagore - démonstration indienne
Représente les mathématiques
On rapporte que pour tracer des angles droits, les arpenteurs de l’ancienne Égypte utilisaient un corde fermée sur elle-même à 13 nœuds formant 12 segments de longueurs égales.
Formule et démontre le théorème de Thalès.
Pour évoquer une démonstration, voici une carte du jeu de cartes "Le sens et le goût des maths".
Quelle(s) mathématique (s) aurais-tu envie de mobiliser ?
Utilise des mathématiques
Lemme 1 ("Aire constante d'un triangle variable", à résoudre)
Soit deux droites parallèles D et D'. Soit deux points A et B sur la
droite D et un point quelconque M sur la droite D'. Alors, l'aire du
triangle ABM ne dépend pas de la position de M et est constant.
Lemme 2 ("Proportionnalité aire / base d'un triangle variable", à résoudre)
Soit une droite D, un point A de cette droite et un point O qui n'est pas sur la droite. Soit un point quelconque M de la droite D. Alors, l'aire du triangle OAM est proportionnel à la longueur AM.
Animation de la démonstration
Voici une animation de la démonstration du théorème de Thalès.
C'est une prise vidéo d'une expérience d'un module interactif réalisé avec le logiciel Scratch. En tant que vidéo, cette animation n'est pas interactive et le rythme pédagogique t'est imposé.
Pour naviguer dans cette démonstration à ton rythme, tu es invité.e à passer à la phase "Implémente les mathématiques avec le numérique" ci-après
Voici une animation de la démonstration du théorème de Thalès, configuration pyramide.
Implémente les mathématiques avec le numérique
Pour naviguer dans la démonstration à ton rythme, tu es invité.e à visiter le studio Scratch Le sens et le goût des maths au collège.
Un module Scratch sur la démonstration y est en partage [1].
Néanmoins, le module est simplifié par rapport à l'animation sur "Utilise les mathématiques".
Tu es encouragé.e à remixer ce module pour installer une pédagogie à ta main .
Quand tu auras réalisé ton propre module, montre-le à tes camarades et à ton professeur.e.
La vidéo ci-dessous est une prise vidéo d'une expérience de ce module sur le site Scratch.
[1] https://scratch.mit.edu/projects/740794336/
Explore d'autres mathématiques
Les lemmes 1 et 2 sont proposés sur le site La point, la règle et la droite [1a][1b]
Une application du théorème de Thales est régulièrement proposée au Brevet national. Le site Le point, la règle et la droite propose une application lors des Brevets 2016 et 2022 [2].
[1a] Aire constante d'un triangle variable
[1b] Proportionnalité aire / base d'un triangle variable
[2a] Brevet 2022, mathématiques, exercice N°1, question 1 et 2
[2b] Brevet 2016, mathématiques, exercice N°5