Représente la vie réelle avec des mathématiques
Wikipedia suggère comment on peut représenter mathématiquement un ballon de football
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| Ballon de football (source : Wikipedia "Ballon de football" CC BY SA) |
C'est un polyèdre régulier formé par 20 faces en formes de triangles équilatéraux qui se rejoignent par cinq à chaque sommet.
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| Icosaèdre (source : Wikipedia "Géode (géométrie)" CC BY SA) |
On ampute chaque sommet au tiers de la longueur de l'arrête.
Les faces triangulaires deviennent alors des hexagones, tandis que les morceaux enlevés autour de chaque sommet donnent naissance à des pentagones réguliers.
Le polygone résultant est formé par 20 hexagones réguliers et 12 pentagones réguliers dont les côtés ont la même longueur.
Formule et Engage les mathématiques
Soit c la longueur d'un coté d'un hexagone ou d'un coté d'un pentagone du polygone régulier ci-dessus.
- dès lors que l'on assimile le ballon à ce polygone, quelle est la longueur du fil en fonction de c ?
- dès lors que l'on assimile le ballon à ce polygone, quelle est la surface approchée du ballon en fonction de c² ?
- sachant que la circonférence d'un ballon doit mesurer entre 68 cm et 70 cm, donne un encadrement de cette surface approchée.
- conclus.
Utilise les mathématiques
Lemme 1
Soit un pentagone régulier de coté c et de diagonale d
Notons φ le rapport d / c ;
Montrer que φ = (1+√5) /2
Lemme 2 ( à résoudre)
Soit un pentagone régulier de coté c ; exprimer son aire en fonction de c².
Lemme 3 (à résoudre)
Soit un hexagone régulier de coté c ; exprimer son aire en fonction de c².
Lemme 4 (admis en secondaire, à démontrer quand tu seras en études supérieures de mathématiques)
Soit un cercle de rayon r ; exprimer sa circonférence en fonction de r.
Lemme 5 (admis en secondaire, à démontrer quand tu seras en études supérieures de mathématiques)
Soit une sphère de rayon r ; exprimer sa surface en fonction de r².
Evalue le résultat mathématique
Les opérations mathématiques que tu as faites montrent que la longueur du fil est de 4 m environ. Ce résultat te semble-t-il faire sens ?
Dans la séquence ''Engage les mathématiques'', une hypothèse semble être admise : à quelle étape ?
La résolution des lemmes 1 [1], 2 [2] et 3 [3]sont proposés sur ce site.
[1] Nombre d'or dans un pentagone,
[2] Aire d'un pentagone régulier
[3] Aire d'un hexagone régulier
Crédit :
d'après "Cousu de fils d'or", Olympiades nationales 2016, Créteil.
Les olympiades de mathématiques, 2016, Tome 2 Solutions, Coordination : Jean-Louis Hennequin, mise en forme : Jean Barbier, Association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public (AMEP)