Longueur d'un fil pour assembler un ballon de football (Olympiades 2016)

La réglementation internationale de football indiquant que la circonférence d'un ballon doit mesurer entre 68 cm et 70 cm, quelle est la longueur du fil de couture pour assembler un tel ballon ?


Représente la vraie vie
Wikipedia suggère comment on peut représenter mathématiquement un ballon de football
Ballon de football (source : Wikipedia "Ballon de football" CC BY SA)
Soit un icosaèdre.
C'est un polyèdre régulier formé par 20 faces en formes de triangles équilatéraux qui se rejoignent par cinq à chaque sommet.


Icosaèdre (source : Wikipedia "Géode (géométrie)" CC BY SA)

On ampute chaque sommet au tiers de la longueur de l'arrête.

Les faces triangulaires deviennent alors des hexagones, tandis que les morceaux enlevés autour de chaque sommet donnent naissance à des pentagones réguliers.

Le polygone résultant est formé par 20 hexagones réguliers et 12 pentagones réguliers dont les côtés ont la même longueur.



Utilise les mathématiques

Soit c la longueur d'un coté d'un hexagone ou d'un coté d'un pentagone du polygone régulier ci-dessus.

  1. dès lors que l'on assimile le ballon à ce polygone, quelle est la longueur du fil en fonction de c ?
  2. dès lors que l'on assimile le ballon à ce polygone, quelle est la surface approchée du ballon en fonction de c² ?  
  3. dès lors que cette surface approchée est encadrée par la surface de deux sphères de rayon r1 et r2, trouver un encadrement de c.
  4. conclure

Lemme 1
Soit un pentagone régulier de coté c et de diagonale d 
Notons φ le rapport d / c ;
Montrer que   φ = (1+√5) /2 

Lemme 2 ( à résoudre)
Soit un pentagone régulier de coté c ; exprimer son aire en fonction de c².  

Lemme 3 (à résoudre)
Soit un hexagone régulier de coté c ; exprimer son aire en fonction de c².  

Lemme 4 (à résoudre quand tu seras en études supérieures de mathématiques)
Soit un cercle de rayon r ; exprimer sa circonférence en fonction de r.

Lemme 5 (à résoudre quand tu seras en études supérieures de mathématiques)
Soit une sphère de rayon r ; exprimer sa surface en fonction de r².



Evalue le résultat mathématique

Les opérations mathématiques que tu as faites montrent que la longueur du fil est de 4 m environ. Ce résultat te semble-t-il faire sens ?






Crédit : d'après "Cousu de fils d'or", Olympiades nationales 2016, Créteil.