Aire d'un pentagone régulier [juil 2022]

Soit un pentagone régulier de coté c.
Exprimer son aire en fonction de c².   

 



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Lemme (à admettre ou démontrer)
Soit φ = (1+√5) /2
Soit un pentagone régulier de coté c et de diagonale d  ;
alors d/c = φ 

Lemme : (à admettre ou démontrer)
théorème de Pythagore [1]

[1] Théorème de Pythagore - démonstration d'Euclide - démonstration indienne, Le point, la règle et la droite

 

Explore d'autres mathématiques 

Voici un ballon de football et un modèle mathématique. Sur le modèle, on reconnaît des pentagones. Et si tu cherchais à déterminer la longueur d'un fil pour assembler un ballon de football ? [1]

Ballon de football (source : Wikipedia "Ballon de football" CC BY SA)

[1] Longueur d'un fil pour assembler un ballon de football (Olympiades 2016), Le point, la règle et la droite

Réponse
Expression de l'aire d'un pentagone en fonction de son coté c :  
Soit   φ = (1+√5) /2 

La surface du pentagone régulier est 

c² [ 2φ √(3 − φ) + √(4φ + 3) ] / 4