Brevet 2022, mathématiques, exercice N°1, question 4 [nov 2022]

"L’un des enfants lâche un bâton dans la rivière au niveau du point E. Avec le courant, le bâton se déplace en ligne droite en 5 secondes jusqu’au point C. Calculer la vitesse du bâton en m/s"
[CE vaut 13,3 m]

Représente les mathématiques

Quelle unité dois-tu mobiliser pour mesurer la vitesse du bâton ?




Formule les mathématiques 

V = CE / DeltaT      

Les définitions de V, CE et DeltaT sont obtenues par le quiz  en trois temps de "Représente les mathématiques",  ci-dessus.


Utilise des mathématiques

Animation de la résolution
Voici une animation de la résolution

C'est une prise vidéo d'une expérience d'un module réalisé avec l'environnement numérique Scratch. En tant que vidéo, cette animation n'est pas interactive et le rythme pédagogique t'est imposé.

Pour naviguer dans cette résolution à ton rythme, tu es invité.e à passer à la phase "Implémente les mathématiques avec le numérique" ci-après.


 

On pourra consulter les corrigés proposés par différents sites, notamment celui de l'APMEP (association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public) [1]. 


[1] Métropole - La Réunion - Antilles - Guyane, Brevet des collèges 2022, 10 sujets, 9 corrigés, Denis Vergès, APMEP, 30 juin 2022 

 

Implémente les mathématiques avec le numérique

Pour naviguer dans la démonstration / résolution à ton rythme, tu es invité.e à visiter le studio Scratch  Le sens et le goût des maths au collège.
Un module Scratch sur la démonstration / résolution y est en partage [1].

Néanmoins, le module est épuré par rapport à l'animation sur "Utilise les mathématiques".

Tu es encouragé.e à  remixer ce module pour installer des notes explicatives à ta main, voire tes propres étapes. Un sprite "Coach" est préinstallé à cet effet.

Quand tu auras fini ton ouvrage, montre-le à tes camarades et à ton professeur.e.

 
La vidéo ci-dessous est une prise vidéo d'une expérience de ce module sur le site Scratch.  


https://scratch.mit.edu/projects/767479827/
 

Interprète les mathématiques

Les calculs donnent 

  • une largeur de rivière entre 2 et 3 m, soit 4 pas.
  • une vitesse de déplacement du bout de bois entre 2 m/s et 3 m/s, soit entre 3 et 5 pas par seconde.

Une telle trajectoire te semble-t-elle plausible ?

Implémente  l'expérience avec le numérique

Voici une animation réalisée avec le logiciel Scratch.


Explore d'autres mathématiques

La vidéo ci-dessus n'est qu'une animation d'artiste. Mais celle-ci sera une aide pour recueillir des avis de tes camarades où de ton professeur.

Voici quelques réponses de membres de la communauté polytechnicienne :

"Sans avoir à reprendre les cours sur Navier-Stokes, ce trajet ne semble pas plausible dans un écoulement laminaire, car il y aura rupture de la dérivée du flot en C. " Pascal B.

"Vu les vitesses d'écoulement, le régime est torrentiel (turbulent) (...). Il y aura donc des vagues (...). La ligne droite est donc improbable. Toutefois le courant risque de drosser contre chaque arbre E et C, rendant le trajet de E à C plausible. " Augustin T. 

"Avec un tel tracé du lit de la rivière, présentant deux inflexions entre A et E, aucun flot ne peut être laminaire, par conservation de la quantité de mouvement. Des tourbillons vont perturber le flux, rendant très peu probable une trajectoire rectiligne uniforme entre C et E." Philippe G.

Dans ces réponses, il y a sans doute des expressions que tu lis pour la première fois : Navier-Stokes, laminaire, dérivée, inflexions, quantité de mouvement,...

Concernant Navier-Stokes, ce sont les noms de deux savants du 19e siècle,  Henri Navier et George Gabriel Stokes [3a], qui ont étudié l'écoulement des fluides. En études supérieures, tu pourras être initié aux "équations Navier-Stokes", qui sont utilisées dans les départements techniques d'entreprises de nombreuses industries.

Dans les réponses, il apparaît que la "vitesse d'écoulement" et  le "tracé du lit la rivière" sont déterminants. Sur le second point, l'énoncé original indique bien que "le schéma n'est pas à l'échelle". 

Voici donc un schéma, à l'échelle pour les mesures données par l'énoncé, mais avec un rendu de tracé alternatif de la rivière.

[3a]  [Les équations Clefs de la physique] Les équations de Navier-Stokes, diffusé par CEA Recherche, YouTube
[3b]  Peut-on construire une équation qui aurait pour solution la température à Paris demain ?  Une conférence Timeworld, Isabelle Gallagher,  22 septembre 2022, diffusée par Ideas in Sciences sur YouTube.
 

Représente et Formule les mathématiques

En faisant des recherches internet sur Navier-Stokes, tu pourras apprendre qu'il existe des logiciels de simulations d'écoulement de fluide (CFD, Computational Fluid Dynamics). 

Néanmoins, comme pour le logiciel Scratch où la fonction mathématique "sinus" a été utilisée pour simuler l'écoulement, il faut imaginer un modèle mathématique de la rivière qui puisse être "compris" (déclaré dans) par le logiciel CFD.

Voici une rivière "modélisée" par trois tronçons rectilignes de même largeur et faisant entre eux des angles notés respectivement α et β .


 La question posée dans la rubrique Interprète les mathématiques

"La trajectoire EC est-elle plausible ?

devient, en vue de l'utilisation d'un logiciel CFD avec lequel on pourra réaliser plusieurs simulations avec des jeux différents de valeurs α et β

"Soit une vitesse d'écoulement entre 2 m/s et 3 m/s, peut-on trouver un angle α et un angle β pour que la trajectoire EC soit effective ? "

Sujet et corrigé  
Sur le site de l'Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public (APMEP) :